V E K T O R

A.  Besaran Vektor Dan Skalar

Ada beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. Ada juga besaran fisis yang tidak cukup hanya dinyatakan dengan besarnya saja, tetapi harus juga diberikan penjelasan tentang arahnya.

a.    Besaran vektor :

Besaran yang dicirikan oleh besar dan arah.

Contoh besaran vektor didalam fisika adalah: kecepatan, percepatan, gaya, perpindahan, momentum dan lain-lain. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.

b.   Besaran skalar :

Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besarnya dinyatakan oleh bilangan dan satuan).

Contoh besaran skalar : waktu, suhu, volume, laju, energi, usaha dll. Tidak diperlukan sistem koordinat dalam besaran skalar

B.  Penggambaran, penulisan (Notasi) vektor

Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah yang terdiri dari pangkal (titik tangkap), ujung dan panjang anak panah. Panjang anak panah menyatakan nilai dari vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor.

Pada gambar di bawah ini vektor dengan titik pangkalnya P, titik ujungnya Q serta sesuai arah panah dan nilai vektornya sebesar panjang.

           P                                       Q

                       Gambar sebuah vektor PQ

Titik P          : Titik Pangkal (titik tangkap)

Titik Q          : Ujung

                  Panjang PQ : Nilai (besarnya) vektor tersebut =   PQ                          

Notasi (simbol) sebuah vektor dapat juga berupa huruf besar atau huruf kecil, biasanya berupa huruf tebal, atau berupa huruf yang diberi tanda panah di atasnya atau huruf miring.

Contoh :

Vektor A = (Berhuruf tebal)

Vektor Ᾱ  = (Huruf dengan tanda panah di atasnya)

Vektor A  = (Huruf miring)

Untuk penulisan harga (nilai) dari vektor dituliskan dengan huruf biasa atau dengan memberi tanda mutlak dari vektor tersebut.

Contoh : Vektor A. Nilai vektor A ditulis dengan A atau   A

Ada beberapa hal yang perlu diingat mengenai besaran vektor.

1. Dua buah vektor dikatakan sama jika mempunyai bila besar dan arah sama.

2. Dua buah vektor dikatakan tidak sama jika :

a. Kedua vektor mempunyai nilai yang sama tetapi berlainan arah

b. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda tetapi arah sama

c. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda dan arah yang berbeda

Untuk lebih jelasnya lihat gambar di bawah ini:                                                 D

            A

                                   C                        

           B                                                                                              E

Gambar beberapa buah vektor

Besar (nilai) vektor A, B, C, dan D sama besarnya. Nilai vektor C lebih kecil dari vektor D. Dari gambar di atas dapat disimpulkan bahwa:

A = C artinya: nilai dan arah kedua vektor sama

A = - B artinya: nilainya sama tetapi arahnya berlawanan

Vektor A tidak sama dengan vektor D (Nilainya sama tetapi arahnya berbeda)

Vektor D tidak sama dengan vektor E (Nilai dan arahnya berbeda)

C.    Penjumlahan dan pengurangan vektor

Mencari resultan dari beberapa buah vektor, berarti mencari sebuah vektor baru yang dapat menggantikan vektor-vektor yang dijumlahkan (dikurangkan).

Untuk penjumlahan atau pengurangan vektor, ada beberapa metode, yaitu:

1. Metode jajaran genjang

2. Metode segitiga

3. Metode poligon (segi banyak)

4. Metode uraian

a.      Metode Jajaran Genjang

Cara menggambarkan vektor resultan dengan metode jajaran genjang adalah sebagai berikut.

              A                                                                       A

                                                                                                         R=A+B   

                                                          B                                                                  B

Resultan vektor A + B, dengan metode jajaran genjang

Langkah-langkah :

a. Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berimpit

b. Lukis sebuah jajaran genjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-sisinya

c. Resultannya adalah sebuah vektor, yang merupakan diagonal dari jajaran genjang tersebut dengan titik pangkal sama dengan titik pangkal kedua vektor tersebut

Besarnya vektor :

R = R =  R   = √A²+B²+ 2AB cos θ

θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B

Catatan :

1. Jika vektor A dan B searah, berarti α = 0° : R = A + B

2. Jika vektor A dan B berlawanan arah, berarti α = 180° : R = A - B

3. Jika vektor A dan B saling tegak lurus, berarti α = 90° : R = 0

Untuk pengurangan (selisih) vektor R = A – B, maka caranya sama saja, hanya vektor B digambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui.

b.Metode Segitiga

Apabila ada dua buah vector di jumlahkan dengan cara segitiga, maka tahap – tahap yang harus di laukan adalah

                   A

                B                                  

                                                                                                                         R=A+B

Gambar Resultan A+B dengan metode segitiga

Langkah – langkah:

1. Gambar vector A

2. Gambarkan vector B dengan cara meletakkan pangkal vector B pada ujung vector A

3. Tariklah garis dari pangkal vector A ke ujung vector B

4. Vektor resultan merupakan vector yang mempunyai pangkal di vector dan mempunyai ujung di vector B

Jika di nyatakan R=A-B, maka caranya sama saja, hanya vector B yang di gambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui.

c.Metode Poligon

Pada metode ini, tahapannya sama dengan metode segitiga, hanya saja metode ini menjumlahkan lebih dari dua vector.

Contoh:

Jumlahkan ketiga buah vector A, B, dan C dengan metode polygon.

                                              B                          C

              A                                  

                                                                                                                                                                            

 Jawab : resultan ketiga vector R adalah R = A + B + C

                                                                           C

                                                         R                         B

                                                                        A

Penjumlahan vector dengan metode polygon

Dalam operasi penjumlahan berlaku :

a.Hukum Komutatif

                                          B                                          A + B = B + A

                        A                B                A

b.Hukum Asosiatif

                        B                                     

                                                C

              A

                                                                             

(A + B) + C = A + (B + C)

          

D.Perkalian Vektor

   Untuk operasi perkalian dua buah vector, ada dua buah macam operasi yaitu :

   1.Perkalian scalar dengan vector

   2.Perkalian vector dengan vector

      a.Perkalian titik (dot product)

      b. Perkalian silang (cross product)

1.Perkalian Skalar dengan Vektor

Sebuah besaran skalar dengan nilai sebesar k, dapat dikalikan dengan sebuah

vektor A yang hasilnya sebuah vektor baru C yang nilainya sama dengan nilai k dikali nilai A. Jika nilai k positif, maka arah C searah dengan A dan jika nilai k bertanda negatif, maka arah C berlawanan dengan arah A.  secara sistematis dapat di tuliskan sebagai berikut :

C = K A

2.Perkalian Vektor dengan Vektor

Ada dua jenis perkalian antara vektor dengan vektor. Pertama disebut perkalian titik (dot product) yang menghsilkan besaran skalar dan kedua di sebut perkalian silang ( cross product ) yang menghasilkan besaran vector.

a.      Perkalian titik (dot Product)

Perkalian titik (dot product) antara dua buah vector A dan B menhasilkan C, didefinisikan secara sistematis sebagai berikut

A.B = C                                                                                        A

                                                                                                                       θ                              B

A dan B vector dan C besaran scalar

Besaran C di definisikan sebagai : C = A.B cos θ

A = A = besar vector A

B = B = besar vektor B

θ = sudut antara vektor A dan B

Sifat – sifat perkalian titik

a.      Bersifat komutatif  = A.B=B.A

b.      Bersifat distributive= A.(B+C)=A.B+A.C

c.      Jika A dan B saling tegak lurus maka = A.B=0

d.      Jika A dan B searah = A.B=A.B

e.      Jika A dan B berlawanan arah = A.B=-A.B

b.Perkalian Silang (cross product)

Perkalian silang (cross Product) antara vector A dan vector B Akan menghasilkan C. didefinisikan sebagai berikut :

A X B = C

   C

B

 

                                    θ

                                                           A

                                                           Gambar Perkalian Vektor

A, B dan C vector. Nilai C didefinisikan sebagai C = A . B Sin θ

A = A = besar vektor A

B = B = besar vektor B

θ = sudut antara vektor A dan B

Arah vektor C dapat diperoleh dengan cara membuat putaran dari vektor A ke B melalui sudut θ dan arah C sama dengan gerak arah sekrup atau aturan tangan kanan..

Sifat-sifat perkalian silang (cross Product).

1. bersifat anti komutatif : A x B = - B x A

2. jika A dan B saling tegak lurus maka : A x B = A.B

3. jika A dan B searah atau berlawanan arah : A x B = 0

E.Vektor Satuan

Vektor satuan adalah sebuah vektor yang didefinisikan sebagai satu satuan vektor. Jika digunakan sistem koordinat Cartesian (koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x dan sumbu y dan sumbu Z, vektor satuan pada sumbu x adalah i, vektor satuan pada sumbu y adalah j dan pada sumbu z adalah k. Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnya adalah satu satuan.                                Z

 

                                                                   k

                                             i                                                    j                                     Y

                X

Vektor Satuan

Sifat-sifat perkalian titik vektor satuan

i . i = j . j = k . k = 1

i . j = j . k = i . k = 0

Sifat-sifat perkalian silang vektor satuan

i x I = j x j = k x k =0

i x j = k j x i = - k

k x I = j i x k = - j

j x k = i k x j = - i

Penulisan suatu vektor A dalam koordinat katesian bedasarkan komponen-komponennya adalah :

A = A_x i + A_y j + A_zk 2.9

Dimana A_x , A_y dan A_z adalah komponen A arah sumbu X, Y dan Z

Contoh perkalian titik dan perkalian silang dua buah vektor A dan B .

1. Pekalian titik.

A. B = (A_x i + A_y j + A_z k) . ( A_x i + A_y j + A_z k )

    = AxBx i.i + AxBy i.j + AxBz i.k + AyBx j.i + AyBy j.j + AyBz j.k + AzBx k.i + AzBy k.j + AzBz k.k

       A . B = AxBx + AyBy + AzBz

2. Perkalian silang.

A x B = (A_x i + A_y j + A_z k) x ( A_x i + A_y j + A_z k )

          = AxBx ixi + AxBy ixj + AxBz ixk + AyBx jxi + AyBy jxj + AyBzjxk + AzBx kxi + AzBy kxj + AzBz kxk

          = AxBy k - AxBz j - AyBx k + AyBz i + AzBx j - AzBy I

A x B = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx )j + (AxBy – AyBx)k